Question

15．设函数f（x）=x²+ax+b，a，b∈R，若2a+b=-4，证明：|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）≥4．

Answer 1

分析 把2a+b=-4代入函数解析式，利用f（x）的对称轴进行分类，求出f（x）在[0，4]上的最值，进一步求得|f（x）|在区间[0，4]上的最大值．

解答 证明：∵函数f（x）=x²+ax+b，且2a+b=-4，
∴f（x）=x²+ax+b=x²+ax-2（2+a），
=（x-2）（x+2+a），
①-$\frac{a}{2}$≤0时，即a≥0，f（x）在[0，4]上为增函数，f（x）∈[-4-2a，2a+12]，
此时|-4-2a|＜2a+12，
|f（x）|的最大值M（a）=2a+12，
②-$\frac{a}{2}$≥0时，即a≤-8，f（x）在[0，4]上为减函数，f（x）∈[2a+12，-4-2a]，
此时-4-2a＞|2a+12|，
|f（x）|的最大值M（a）=-4-2a，
③0＜-$\frac{a}{2}$≤2时，即-4≤a＜0，f（x）在[0，4]上的最小值是f（-$\frac{a}{2}$）=-（$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a+4），
f（x）在[0，4]上的最大值为f（4）=2a+12，
∵4≤2a+12＜12，-4≤-（$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a+4）＜0，
∴|f（x）|的最大值M（a）=2a+12，
④2＜-$\frac{a}{2}$＜4时，即-8＜a＜-4，f（x）在[0，4]上的最小值是f（-$\frac{a}{2}$）=-（$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a+4），
f（x）在[0，4]上的最大值为f（0）=-4-2a，
∵4＜-4-2a＜12，-4≤-（$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a+4）＜0，
∴|f（x）|的最大值M（a）=-4-2a，
∴M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-4-2a}&{a＜-4}\\{2a+12}&{a≥-4}\end{array}\right.$，
①a＜-4时，M（a）=-4-2a≥4
②a≥4时，M（a）=2a+12≥4
∴M（a）≥4．

点评 本题考查恒成立问题，主要考查二次函数的图象和性质，不等式等基础知识．