Question

抛物线y=-x²+3上存在关于直线y=x对称的相异两点A，B，则|AB|等于

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：设AB的方程为y=x+b，代入抛物线y=-x²+3化简利用根与系数的关系可得x₁+x₂=-1，x₁•x₂=b-3，根据AB的中点（-

1

2

，-

1

2

+b） 在直线x+y=0上，求出b值，由|AB|=

1+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

求得结果．

解答： 解：由题意可得，可设AB的方程为 y=x+b，
代入抛物线y=-x²+3化简可得 x²+x+b-3=0，
∴x₁+x₂=-1，x₁•x₂=b-3，
故AB的中点为（-

1

2

，-

1

2

+b），
根据中点在直线x+y=0上，
∴-

1

2

+（-

1

2

+b）=0，
∴b=1，故 x₁•x₂=-2，
∴|AB|=

1+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=3

2

，
故答案为：3

2

．

点评：本题考查直线和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，弦长公式的应用，求得 x₁+x₂=-1，x₁•x₂=-2，是解题的关键．