Question

19．已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0
（1）求证：对m∈R，直线与圆C总有两个不同的交点A、B；
（2）若定点P（1，1）满足$\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{AP}$，求直线的方程．

Answer 1

分析 （1）根据直线l的方程可得直线经过定点H（1，1），而点H到圆心C（0，1）的距离为1，小于半径，故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，命题得证．
（2）由题意定点P（1，1）满足$\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{AP}$，可得x₁，x₂，①再把直线方程y-1=m（x-1）代入圆C，化简可得${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-5}}{{1+{m^2}}}$②，由①②求得m的值，从而求得直线l的方程．

解答 （1）证明：直线l：m（x-1）-y+1=0，即y-1=m（x-1），恒经过（1，1）
又点在圆内，所以直线和圆恒有两个公共点；    （5分）
（2）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），$\left\{\begin{array}{l}{x_2}+2{x_1}=3\\{y_2}+2{y_1}=3\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{x_1}=\frac{{3+{m^2}}}{{1+{m^2}}}\\{x_2}=\frac{{{m^2}-3}}{{1+{m^2}}}\end{array}\right.$，
把直线方程 y-1=m（x-1）代入圆C：x²+（y-1）²=5，化简可得 （1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，
得${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-5}}{{1+{m^2}}}$，解得m=±1，
所以所求直线方程为x-y=0，x+y-2=0．（12分）

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．