Question

7．求适合下列条件的标准方程：
（1）已知椭圆经过点P（-5，0），Q（0，3），求它的标准方程；
（2）已知双曲线的离心率$e=\sqrt{2}$，经过点M（-5，3），求它的标准方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆经过的特殊点，求出a，b，即可得到椭圆的标准方程．
（2）利用双曲线离心率以及经过的点列出方程组求解即可．

解答 解：（1）已知椭圆经过点P（-5，0），Q（0，3），
可得a=5，b=3，它的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）解：∵离心率$e=\sqrt{2}$，可得a=b，经过点M（-5，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{25}{{a}^{2}}-\frac{9}{{b}^{2}}=1\\ a=b\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{25}{{b}^{2}}=1\\ a=b\end{array}\right.$，
解得：a²=b²=16，（第二个方程组无解），
∴双曲线C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

点评 本题考查双曲线的标准方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线的简单性质的灵活运用．