Question

已知函数f（x）=

x+3

，g（x）=3-x，构造函数y=F（x），定义如下：当f（x）≥g（x）时，F（x）=g（x）；当f（x）＜g（x）时，F（x）=f（x），则F（x）的最大值为

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据已知条件求出函数F（x）的解析式，求解析式时先找使f（x）=g（x）的x值，根据解析式即可求F（x）的最大值．

解答： 解：f′（x）=

1

2 x+3

＞0，∴函数在[-3，+∞）上是增函数；
g′（x）=-1＜0，∴函数g（x）在R上是减函数．
令

x+3

=3-x（-3≤x≤3）得x=1；
∴x∈[-3，1）时，f（x）＜g（x）；x∈[1，+∞）时，f（x）≥g（x）；
∴F(x)=

3-x x≥1 x+3 -3≤x＜1

；
∵x≥1时，x=1时，3-x取最大值2；-3≤x＜1时，

x+3

＜2；
∴函数F（x）的最大值为：2．
故答案为：2．

点评：考查单调增函数和单调减函数的变化趋势，根据单调性求函数的最大值，而求解本题的关键是解使f（x）=g（x）的x值．