Question

三角形ABC中，角A．B．C对应的边分别为a．b．c，已知sin（2A+

π

6

）=

1

2

，b=1，S_△ABC=

3

2

，则

b+c

sinB+sinC

=

 

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：利用sin（2A+

π

6

）的值，求得A，然后利用三角形面积公式求得c，进而通过余弦定理求得a，最后利用正弦定理求得三角形外接圆半径，通过正弦定理可求得

b+c

sinB+sinC

恰等于外接圆半径．

解答： 解：∵0＜A＜π，
∴＜

π

6

2A+

π

6

＜

13π

6

，
∵sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

，
∵S_△ABC=

1

2

•b•c•sinA=

1

2

•1•c•

3

2

=

3

2

，
∴c=2，
∴a=

b2+c2-2bccosA

=

1+4-2×1×2× 1 2

=

3

，
∴2R=

a

sinA

3

3 2

=2，
∵

b+c

sinB+sinC

=

2R•sinB+2RsinC

sinB+sinC

=2R=2．
故答案为：2

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用．在解决解三角形问题时，常用正、余弦定理进行边角问题的转化．