Question

11．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=3t-1\end{array}\right.（t为参数）$，当t=0时，曲线C₁上对应的点为P．以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为$ρ=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{3+{{sin}^2}θ}}}$．     
（1）求曲线C₁的极坐标方程与C₂的直角坐标方程．
（2）设曲线C₁与C₂的公共点为A，B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=3t-1\end{array}\right.（t为参数）$，消去参数化为曲线C₁的普通方程，利用互化公式可得极坐标方程．曲线C₂的极坐标方程为$ρ=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{3+{{sin}^2}θ}}}$，两边配方可得：ρ²（3+sin²θ）=12，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）由已知可得P（0，-1），可设曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{5}t\\ y=-1+\frac{3}{5}t\end{array}\right.（t为参数）$，代入曲线C₂的直角坐标方程得：21t²-30t-50=0，利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=3t-1\end{array}\right.（t为参数）$，
消去参数化为曲线C₁的普通方程：3x-4y-4=0，
∴极坐标方程为：3ρcosθ-4ρsinθ-4=0．
曲线C₂的极坐标方程为$ρ=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{3+{{sin}^2}θ}}}$，
两边配方可得：ρ²（3+sin²θ）=12，
可得直角坐标方程：3x²+4y²=12．
（2）由已知可得P（0，-1），可设曲线C₁的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{5}t\\ y=-1+\frac{3}{5}t\end{array}\right.（t为参数）$，
代入曲线C₂的直角坐标方程得：21t²-30t-50=0，
∴t₁t₂=-$\frac{50}{21}$．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{50}{21}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标与直角坐标方程互化、直线与椭圆相交弦长、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．