Question

3．定义运算“*”如下：a*b=$\left\{\begin{array}{l}{a（a≥b）}\\{b（a＜b）}\end{array}\right.$，关于函数f（x）=sinx*cosx有下列四个结论：
①函数f（x）值域为[-1，1]；
②当且仅当x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值；
③f（x）是以π为最小正周期的周期函数；
④当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）时，函数f（x）＜0．
其中结论正确的是④．

Answer 1

分析 根据题意，画出函数f（x）=sinx*cosx=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≥cosx}\\{cosx，sinx＜cosx}\end{array}\right.$ 在一个周期上的图象，数形结合可得结论．

解答 解：由于函数f（x）=sinx*cosx
=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≥cosx}\\{cosx，sinx＜cosx}\end{array}\right.$，
表示在sinx 和cosx中取较大的一个，
f（x）在一个周期上的图象如图所示，
由图象可得，它的值域为[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
它的最小正周期为2π，故①③不正确．
当x=2kπ，或 x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）时，
函数f（x）取得最大值，故②不正确．
当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）时，
cosx 和sinx都小于零，故函数f（x）＜0，故④正确，
故答案为：④．

点评 本题主要考查新定义，正弦函数、余弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．