Question

13．如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B₁，E为棱CC₁的中点，A₁B与AB₁交于点O．若AC=CC₁=2BC=2，∠ACC₁=∠CBB₁=60°．
（Ⅰ）证明：直线OE∥平面ABC；
（Ⅱ）证明：平面ABE⊥平面AB₁E；
（Ⅲ）求直线A₁B与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取BB₁的中点F，连结OF，EF．利用中位线定理得出OF∥AB，EF∥BC，从而平面OEF∥平面ABC，于是直线OE∥平面ABC；
（II）由等边三角形性质得出AE⊥CC₁，由面面垂直的性质可得AE⊥平面BCC₁B₁，于是AE⊥BE，根据平面几何知识可得BE⊥B₁E，于是BE⊥平面AB₁E，从而平面ABE⊥平面AB₁E；
（III）作OM⊥AE，M为垂足，则可证OM⊥平面ABE．从而∠OBM即为直线A₁B与平面ABE所成角，利用勾股定理计算OM，BM，OB，从而得出sin∠OBM．

解答 解：（Ⅰ）取BB₁的中点F，连结OF，EF
∵E，O分别为CC₁，BA₁的中点，
∴OF∥AB，EF∥BC，
∵OF?平面ABC，EF?平面ABC，AB?平面ABC，BC?平面ABC，
∴OF∥平面ABC，EF∥平面ABC，
又OF?平面OEF，EF?平面OEF，OF∩EF=F，
∴平面OEF∥平面ABC，∵OE?平面OEF，
∴直线OE∥平面ABC．                            
（Ⅱ）∵AC=2CE=2，∠ACC₁=60°，
∴AE⊥CC₁，
∵平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B₁，平面ACC₁A₁∩平面BCC₁B₁=CC₁，AE?平面ACC₁A₁，
∴AE⊥平面BCC₁B₁，
∴AE⊥BE．
∵BC=CE=EC₁=C₁B₁=1，∠CBB₁=60°，
∴∠CEB=30°，∠C₁EB₁=60°，
∴∠BEB₁=90°，即BE⊥EB₁．
又AE?平面AB₁E，B₁E?平面AB₁E，AE∩B₁E=E，
∴BE⊥平面AB₁E，∵BE?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面AB₁E．                          
（Ⅲ）作OM⊥AE，M为垂足，连结BM．
由（Ⅱ）知OM⊥平面ABE，
∴∠OBM即为直线A₁B与平面ABE所成角．             
∵OM⊥AE，EB₁⊥AE，
∴OM∥EB₁，又O为AB₁的中点，
∴OM=$\frac{1}{2}$EB₁=$\frac{1}{2}$，EM=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴BM=$\frac{{\sqrt{15}}}{2}$，从而BO=2，
∴sin∠OBM=$\frac{1}{4}$，即直线A₁B与平面ABE所成角的正弦值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，空间角的作法与计算，属于中档题．