Question

1．过抛物线y²=4x的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点，正三角形ABC的顶点C在该抛物线的准线上，则直线AB的斜率为（　　）

• A． ±$\sqrt{2}$
• B． ±$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． ±$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． ±$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设AB的中点为M，过A、B、M分别作AA₁、BB₁、MN垂直于直线x=-1于A₁、B₁、N，设∠AFx=θ，求出sinθ=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，即可求出直线AB的斜率．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），设AB的中点为M，过A、B、M分别作AA₁、BB₁、MN垂直于直线x=-1于A₁、B₁、N，设∠AFx=θ，
由抛物线定义知：|MN|=$\frac{1}{2}$（|AA₁|+|BB₁|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
∵|MC|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|，∴|MN|=$\frac{1}{\sqrt{3}}$|MC|，
∵∠CMN=90°-θ，
∴cos∠CMN=cos（90°-θ）=$\frac{|MN|}{|MC|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，即sinθ=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
根据对称性，直线AB的斜率为±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键．