Question

8．已知抛物线C：y²=4x，过M（1，0）作直线l与抛物线C交于A，B两点，当∠AOB（O为坐标原点）取得最大值时，△AOB面积的值是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 设直线l的方程为x=my+1，代入抛物线C：y²=4x，可得y²-4my-4=0，利用韦达定理，结合cos∠AOB=$\frac{1-4}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}•\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}}$=$\frac{-3}{\sqrt{16{m}^{2}+25}}$，即可得出结论．

解答 解：设直线l的方程为x=my+1，代入抛物线C：y²=4x，可得y²-4my-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=4m²+2，x₁x₂=1，
∴cos∠AOB=$\frac{1-4}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}•\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}}$=$\frac{-3}{\sqrt{16{m}^{2}+25}}$，
∴m=0时，∠AOB（O为坐标原点）取得最大值，
此时A（1，2），B（1，-2），∴△AOB面积S=$\frac{1}{2}×1×4$=2．
故选：C．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．