Question

已知圆A：x²+y²-2x-2y-2=0．
（1）若直线l：ax+by-4=0平分圆A的周长，求原点O到直线l的距离的最大值； 
（2）若圆B平分圆A的周长，圆心B在直线y=2x上，求符合条件且半径最小的圆B的方程．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：（1）若直线l：ax+by-4=0平分圆A的周长，则l经过圆心，即a+b-4=0，此时原点O到直线l的距离d=

4

a2+b2

．故当a=2时，d取最大值．
（2）由题意知圆B与圆A的相交弦为圆A的一条直径，设圆B的圆心为B（a，2a），半径为R．由垂径定理可得当a=

3

5

时，R²取得最小值，此时圆B符合条件．

解答： 解：（1）圆A的方程即（x-1）²+（y-1）²=4，其圆心为A（1，1），半径为r=2．
由题意知直线l经过圆心A（1，1），
所以a+b-4=0，得b=4-a．
原点O到直线l的距离d=

4

a2+b2

．
因为a²+b²=a²+（4-a）²=2（a-2）²+8，
所以当a=2时，a²+b²取得最小值8．
故d的最大值为

4

8

=

2

．

（2）由题意知圆B与圆A的相交弦为圆A的一条直径，它经过圆心A．
设圆B的圆心为B（a，2a），半径为R．如图所示，在圆B中，
由垂径定理并结合图形可得：R²=2²+|AB|²=4+（a-1）²+（2a-1）²=5（a-

3

5

）²+

21

5

．
所以当a=

3

5

时，R²取得最小值

21

5

．
故符合条件且半径最小的圆B的方程为（x-

3

5

）²+（y-

6

5

）²=

21

5

．

点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的标准方程，点到直线的距离公式，难度中档．