Question

已知三棱锥P-ABC中PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC=120°，PA=AB=AC=2，
（1）求该三棱锥的外接球体积；
（2）求内切球的体积．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）求出△ABC的外接圆的半径，利用勾股定理，可得三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球体积；
（2）利用等体积，求出内切球的半径，即可求内切球的体积．

解答： 解：（1）设△ABC的外接圆的半径为r，则
∵∠BAC=120°，AB=AC=2，∴BC=

4+4-2×2×2×(- 1 2 )

=2

3

由正弦定理可得2r=

2 3

sin120°

=4，
设三棱锥的外接球的半径为R，则（2R）²=16+4，
∴R=

5

，
∴该三棱锥的外接球体积为

4

3

π•(

5

)3=

20 5

3

π；
（2）设内切球的半径为m，则
∵S_侧=2×

1

2

×2×2+

1

2

×2×2×

3

2

+

1

2

×2

3

×

8-3

=4+

3

+

15

，
∴由等体积可得

1

3

×

1

2

×2×2×

3

2

×2=

1

3

（4+

3

+

15

）m，
∴m=

3

4+ 3 + 15

∴体积为

4

3

π•（

3

4+ 3 + 15

）³．

点评：本题考查球的体积和表面积，考查学生的计算能力，确定半径是关键．