Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-ax²-3x（x∈R）在点A（1，f（1））处的切线达到斜率的最小值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及函数f（x）在A（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数f′（x）=x²-2ax-3=（x-a）²-a²-3，再根据f（x）在点A（1，f（1））处的切线达到斜率的最小值可得a=1，则函数解析式可求，进一步求得f（1）与f′（1），则f（x）在A（1，f（1））处的切线方程可求；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，求得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得函数的极值．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=

1

3

x³-ax²-3x，得f′（x）=x²-2ax-3=（x-a）²-a²-3，
∵函数f（x）=

1

3

x³-ax²-3x（x∈R）在点A（1，f（1））处的切线达到斜率的最小值，
则a=1，
∴f（x）=

1

3

x³-x²-3x；
此时f(1)=

1

3

-1-3=-

11

3

，f′（1）=-4，
∴函数f（x）在A（1，f（1））处的切线方程为y+

11

3

=-4(x-1)，即12x+3y-1=0；
（Ⅱ）由f（x）=

1

3

x³-x²-3x，得f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
当x∈（-∞，-1），（3，+∞）时，f′（x）＞0，函数为增函数；
当x∈（-1，3）时，f′（x）＜0，函数为减函数．
∴函数f（x）的增区间为∈（-∞，-1），（3，+∞）；减区间为（-1，3）；
当x=-1时，函数f（x）有极大值为f（-1）=

1

3

×(-1)3-(-1)2-3×(-1)=

5

3

；
当x=3时，函数f（x）有极小值为f（3）=

1

3

×33-32-3×3=-9．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了函数极值的求法，是中档题．