Question

3．已知命题p：f（x）=$\frac{x+1}{x+a}$在区间[2，+∞）上单调递减；命题q：g（x）=log_a（-x²-x+2）的单调递增区间为[-$\frac{1}{2}$，1）．若命题p∧q为真命题．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题p，q成立的等价条件，结合复合命题真假之间的关系，建立不等式关系即可．

解答 解：f（x）=$\frac{x+1}{x+a}$=$\frac{x+a+1-a}{x+a}$=1+$\frac{1-a}{x+a}$，
若f（x）=$\frac{x+1}{x+a}$在区间[2，+∞）上单调递减；
则$\left\{\begin{array}{l}{1-a＞0}\\{-a＜2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{a＞-2}\end{array}\right.$，解得-2＜a＜1，即p：-2＜a＜1，
设t=g（x）=-x²-x+2=-（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
则函数在[-$\frac{1}{2}$，1）上单调递减，
若g（x）=log_a（-x²-x+2）的单调递增区间为[-$\frac{1}{2}$，1）．
则y=log_at为减函数，则0＜a＜1，
且g（1）≥0，即-1-1+2=0≥0满足条件．．
故q：0＜a＜1，
若命题p∧q为真命题，
则p，q同时为真命题，
则$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{-2＜a＜1}\end{array}\right.$，即0＜a＜1．

点评 本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．