Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），若数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足f（S_n+2）-f（a_n）=f（3）（n∈N^*），则a₃=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,抽象函数及其应用

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得S_n+2=3a_n，从而推导出数列{a_n}是一个以1为首项，以

3

2

为公比的等比数列，由此能求出a₃．

解答： 解：∵对任意的正数x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），
∵f（S_n+2）-f（a_n）=f（3），
∴f（S_n+2）=f（3）+f（a_n）=f（3•a_n）
又∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
∴S_n+2=3a_n…①
当n=1时，S₁+2=a₁+2=3a₁，解得a_n=1
当n≥2时，S_n-1+2=3a_n-1…②
①-②得：a_n=3a_n-3a_n-1
即

an

an-1

=

3

2

，
∴数列{a_n}是一个以1为首项，以

3

2

为公比的等比数列，
∴a₃=（

3

2

）²=

9

4

．
故答案为：

9

4

．

点评：本题考查数列的第三项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抽象函数的性质的合理运用．