Question

如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是    ．

Answer 1

【答案】分析：作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE．
取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．
解答： 解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，
由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭圆上，且BE、CE都垂直于焦距AD，
AB+BD=AC+CD=2a，显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．
取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，四面体ABCD的体积的最大值，只需EF最大即可，
当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，
∴AB=a，所以EB=，EF=，
所以几何体的体积为：×=．
故答案为：．
点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．