题目内容
如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
.
(1)求四棱锥S-ABCD的体积;
(2)求证:面SAB⊥面SBC;
(3)求SC与底面ABCD所成角的正切值.
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(1)求四棱锥S-ABCD的体积;
(2)求证:面SAB⊥面SBC;
(3)求SC与底面ABCD所成角的正切值.
分析:(1)由题设条四棱锥S-ABCD的体积:V=
Sh=
×
×(AD+BC)×AB×SA,由此能求出结果.
(2)由SA⊥面ABCD,知SA⊥BC,由AB⊥BC,BC⊥面SAB,由此能够证明面SAB⊥面SBC.
(3)连接AC,知∠SCA 就是SC与底面ABCD所成的角.由此能求出 SC与底面ABCD所成角的正切值.
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(2)由SA⊥面ABCD,知SA⊥BC,由AB⊥BC,BC⊥面SAB,由此能够证明面SAB⊥面SBC.
(3)连接AC,知∠SCA 就是SC与底面ABCD所成的角.由此能求出 SC与底面ABCD所成角的正切值.
解答:(1)解:∵底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,
SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
.
∴四棱锥S-ABCD的体积:
V=
Sh=
×
×(AD+BC)×AB×SA
=
×(
+1)×1×1=
.
(2)证明:∵SA⊥面ABCD,BC?面ABCD,
∴SA⊥BC,
∵AB⊥BC,SA∩AB=A,
∴BC⊥面SAB
∵BC?面SBC
∴面SAB⊥面SBC.
(3)解:连接AC,
∵SA⊥面ABCD,
∴∠SCA 就是SC与底面ABCD所成的角.
在三角形SCA中,
∵SA=1,AC=
=
,
∴tan∠SCA=
=
=
.…10分
SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
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∴四棱锥S-ABCD的体积:
V=
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1 |
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=
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(2)证明:∵SA⊥面ABCD,BC?面ABCD,
∴SA⊥BC,
∵AB⊥BC,SA∩AB=A,
∴BC⊥面SAB
∵BC?面SBC
∴面SAB⊥面SBC.
(3)解:连接AC,
∵SA⊥面ABCD,
∴∠SCA 就是SC与底面ABCD所成的角.
在三角形SCA中,
∵SA=1,AC=
12+12 |
2 |
∴tan∠SCA=
SA |
AC |
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| ||
2 |
点评:本题考查棱锥的体积的求法,面面垂直的证明和直线与平面所成角的正切值的求法.解题时要认真审题,注意合理地进行等价转化.
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