题目内容

如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
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(1)求四棱锥S-ABCD的体积;
(2)求证:面SAB⊥面SBC;
(3)求SC与底面ABCD所成角的正切值.
分析:(1)由题设条四棱锥S-ABCD的体积:V=
1
3
Sh
=
1
3
×
1
2
×(AD+BC)×AB×SA
,由此能求出结果.
(2)由SA⊥面ABCD,知SA⊥BC,由AB⊥BC,BC⊥面SAB,由此能够证明面SAB⊥面SBC.
(3)连接AC,知∠SCA 就是SC与底面ABCD所成的角.由此能求出 SC与底面ABCD所成角的正切值.
解答:(1)解:∵底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,
SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
1
2

∴四棱锥S-ABCD的体积:
V=
1
3
Sh
=
1
3
×
1
2
×(AD+BC)×AB×SA

=
1
6
×(
1
2
+1)×1×1
=
1
4

(2)证明:∵SA⊥面ABCD,BC?面ABCD,
∴SA⊥BC,
∵AB⊥BC,SA∩AB=A,
∴BC⊥面SAB 
∵BC?面SBC
∴面SAB⊥面SBC.
(3)解:连接AC,
∵SA⊥面ABCD,
∴∠SCA 就是SC与底面ABCD所成的角.
在三角形SCA中,
∵SA=1,AC=
12+12
=
2

tan∠SCA=
SA
AC
=
1
2
=
2
2
.…10分
点评:本题考查棱锥的体积的求法,面面垂直的证明和直线与平面所成角的正切值的求法.解题时要认真审题,注意合理地进行等价转化.
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