Question

设函数f(x)=

3

2

sin2ωx+cos2ωx，其中0＜ω＜2．
（1）若f（x）的周期为π，求f（x）的单调增区间；
（2）若函数f（x）的图象的一条对称轴为x=

π

3

，求f（x）在x∈[0，π]的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,复合三角函数的单调性

专题：计算题

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，根据周期求出ω的值，令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z，求出函数的单调增区间．
（2）根据函数f（x）的图象的对称性求出ω的值，从而得到f（x）的解析式为f(x)=sin(x+

π

6

)+

1

2

，再根据它的定义域求出它的值域．

解答： 解：（1）∵f(x)=

3

2

sin2ωx+

cos2ωx

2

=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，且周期T=

2π

2ω

=π，∴ω=1．
故函数f（x）=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

．
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z，解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈z，
所以，f（x）的单调增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈z．（6分）
（2）根据 f(x)=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

的一条对称轴方程为x=

π

3

．
可得 2ω•

π

3

+

π

6

=

π

2

+kπ，k∈z，解得ω=

3

2

k+

1

2

，k∈z．
再由0＜ω＜2，可得ω=

1

2

．
∴f(x)=sin(x+

π

6

)+

1

2

．
∵x∈[0，π]，∴

π

6

≤x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(x+

π

6

)≤1，故 0≤f（x）≤

3

2

，
即f（x）值域为 [0，

3

2

]．（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，函数y=Asin（ωx+∅）的周期性、对称性和单调性，属于中档题．