Question

已知函数f（x）=ax²-4x+2（a＞0）满足：对于任意的x∈[0，m]，不等式|f（x）|≤4成立．
（1）若a=3，求m的最大值
（2）若函数y=f（x）在区间[0，m]上的最小值是-3，求a的值
（3）对于给定的正数a，当a为何值时，m最大？并求出这个最大的m．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：综合题

分析：（1）先配方，利用对于任意的x∈[0，m]，不等式|f（x）|≤4成立，可知m的最大值是方程3x²-4x+2=4的较大根；
（2）根据函数f（x）对于任意的x∈[0，m]，不等式|f（x）|≤4成立，函数y=f（x）在区间[0，m]上的最小值-3∈[-4，4]，所以f（x）=ax²-4x+2区间[0，m]上的最小值是在对称轴处取得；
（3））因为 f(x)=a(x-

2

a

)2+2-

4

a

，所以  f(x)min=2-

4

a

，与-4比较，进行分类讨论，我们就可以求出这个最大的m．

解答： 解：（1）当a=3时，f(x)=3x2-4x+2=3(x-

2

3

)2+

2

3

≥-4…（2分）
因为函数f（x）对于任意的x∈[0，m]，不等式|f（x）|≤4成立
所以m的最大值是方程3x²-4x+2=4的较大根，故m=

2+ 10

3

…（4分）
（2）因为-3∈[-4，4]，所以f（x）=ax²-4x+2区间[0，m]上的最小值是在对称轴处取得，…（7分）
所以f(

2

a

)=-3，所以

8a-16

4a

=-3，所以a=

4

5

…（8分）
（3）因为 f(x)=a(x-

2

a

)2+2-

4

a

，所以  f(x)min=2-

4

a

．…（9分）
①若2-

4

a

＜-4，即0＜a＜

2

3

时，m是方程ax²-4x+2=-4的较小根…（11分）
解之得：m=

2- 4-6a

a

．…（12分）
②若2-

4

a

≥-4，即a≥

2

3

时，所以m是方程ax²-4x+2=-4的较大根，即m=

2+ 4-6a

a

…（14分）
并且f(x)min=2-

4

a

越小，m越大，
故当2-

4

a

=-4，即a=

2

3

时，m可以取到最大为3
又因为

2+ 4-6a

a

≥

2- 4-6a

a

．
所以，当且仅当a=

2

3

时，m取得最大值3…（16分）

点评：本题考查二次函数的性质，考查配方法解决函数最值问题，问题（3）分类讨论是关键．