Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，对任意a，b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）若a＞b，试比较f（a），f（b）的大小；
（2）不等式f（3x）＜f（2x+1）．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由a＞b，得

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，所以f（a）+f（-b）＞0，由f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，能得到f（a）＞f（b）；
（2）根据函数的单调性可去掉符号“f”，转化为具体不等式，注意考虑函数的定义域．

解答： 解：（1）∵对任意a，b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
∴

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，
∵a＞b，∴a-b＞0，
∴f（a）+f（-b）＞0，
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）＞0，
即有f（a）＞f（b）；
（2）∵f（x）在[-1，1]上为增函数，
则不等式f（3x）＜f（2x+1）即为

-1≤3x≤1 -1≤2x+1≤1 3x＜2x+1

，即

- 1 3 ≤x≤ 1 3 -1≤x≤0 x＜1

，
解得-1≤x≤0，
故原不等式解集为[-1，0]．

点评：本题考查函数的奇偶性的运用以及单调性的判断、单调性的性质及其应用，考查抽象不等式的求解，抽象函数单调性的判断一般利用定义解决．