Question

4．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=$\sqrt{3}$x，关于x的方程ax²+bx-$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=0的两根为m，n，则点P（m，n）（　　）

• A． 在圆x²+y²=7内
• B． 在圆x²+y²=7上
• C． 在椭圆$\frac{{x}^{2}}{7}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1内
• D． 在椭圆$\frac{{x}^{2}}{7}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1上

Answer 1

分析 根据题意以及根与系数的关系，求出a、b的关系以及m、n的和与积，即得点P（m，n）满足的条件．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线方程为y=$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$①；
又∵关于x的方程ax²+bx-$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=0的两根为m，n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=-\frac{b}{a}}\\{mn=-\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}}\end{array}\right.$②；
由①②得，m²+n²=7，
∴点P（m，n）在圆x²+y²=7上．
故选：B．

点评 本题考查了双曲线的几何性质以及一元二次方程根与系数的关系的应用问题，也考查了求点的轨迹的问题，是综合题．