Question

14．对于函数f（x） 若存在常数s，使得对定义域内的每一个x的值，都有f（x）=-f（2s-x），则称f（x）为“和谐函数”，给出下列函数①f（x）=$\frac{1}{x+1}$  ②f（x）=（x-1）²  ③f（x）=x³+x²+1   ④f（x）=xcosx，其中所有“和谐函数”的序号是（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①④
• D． ①③④

Answer 1

分析 判断对于函数f（x）为准奇函数的主要标准是：若存在常数s，使函数f（x）的图象关于（s，0）对称，则称f（x）为准奇函数，由此逐一判断四个函数得答案．

解答 解：对于函数f（x），若存在常数s，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=-f（2s-x）知，
函数f（x）的图象关于（s，0）对称，
对于①，f（x）=$\frac{1}{x+1}$，函数f（x）的图象关于（-1，0）对称，函数为“和谐函数”；
对于②，f（x）=（x-1）²，函无对称数中心，函数不是“和谐函数”；
对于③，f（x）=x³+x²+1，函数f（x）不关于（s，0）中心对称图形，函数不是“和谐函数”；
对于④，f（x）=cosx，函数f（x）的图象关于（kπ+$\frac{π}{2}$，0）对称，函数为“和谐函数”．
∴为“和谐函数”的是①④．
故选：C．

点评 本题考查新定义的理解和应用，函数f（x）的图象关于（s，0）对称，则称f（x）为“和谐函数”是关键，是中档题．