Question

【题目】已知函数.

（1）若时，讨论在区间上零点个数；

（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）一个零点；（2）

【解析】

分和两种情况进行分类讨论,利用零点存在性定理进行判断即可;

利用分类讨论思想,分,,分别求解函数的导数,利用导数判断函数的单调性,求出函数在上的最小值即可.

（1）当时，，

当时，，故，

故在上无零点；

当时，，

因为，，故，

因此在上单调递增.

因为，，

故存在唯一使得.

综上知，在区间上有一个零点；

（2）当时，，

①当时，因为，，，

故，所以在上单调递增.

故，符合题意；

②当时，令，，

故在上单调递增，

故，可得，

所以在上单调递增，

因此,符合题意；

③当时，令，

则，，

令，，

故，故，

由零点存在性定理可知,存在使得，

所以在上，在上，

故在上单调递减，在上单调递增，

当时，，与题意矛盾，

故不符合题意.

综上可得，实数的取值范围为.