题目内容
【题目】已知函数,
,其中
.
(1)当时,求
的单调区间;
(2)若存在,使得不等式
成立,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)求出函数的定义域和导数,由
得出
和
,然后对
和
的大小关系进行分类讨论,分析导数符号,可得出函数
的单调增区间和减区间;
(2)由,得出
,得出
,构造函数
,将问题转化为
,其中
,然后利用导数求出函数
在区间
上的最小值,可得出实数
的取值范围.
(1)函数的定义域为
,
.
当时,令
,可得
或
.
①当时,即当
时,对任意的
,
,
此时,函数的单调递增区间为
;
②当时,即当
时,
令,得
或
;令
,得
.
此时,函数的单调递增区间为
和
,单调递减区间为
;
③当时,即当
时,
令,得
或
;令
,得
.
此时,函数的单调递增区间为
和
,单调递减区间为
;
(2)由题意,可得
,可得
,其中
.
构造函数,
,则
.
,令
,得
.
当时,
;当
时,
.
所以,函数在
或
处取得最小值,
,
,则
,
,
.
因此,实数的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】推进垃圾分类处理,是落实绿色发展理念的必然选择,也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度,某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试,并将问卷得分绘制频率分布表如下:
得分 | |||||||
男性人数 | 40 | 90 | 120 | 130 | 110 | 60 | 30 |
女性人数 | 20 | 50 | 80 | 110 | 100 | 40 | 20 |
(1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试,试估计其得分不低于60分的概率;
(2)将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解“(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)两类,完成列联表,并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关?
不太了解 | 比较了解 | |
男性 | ||
女性 |
(3)从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中,按照性别进行分层抽样,共抽取10人,连同名男性调查员一起组成3个环保宜传队.若从这
中随机抽取3人作为队长,且男性队长人数占的期望不小于2.求
的最小值.
附:
临界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |