题目内容
【题目】已知动圆与圆
:
外切且与
轴相切.
(1)求圆心的轨迹
的方程;
(2)过作斜率为
的直线
交曲线
于
,
两点,
①若,求直线
的方程;
②过,
两点分别作曲线
的切线
,
,求证:
,
的交点恒在一条定直线上.
【答案】(1)或
;(2)①
:
;②证明见解析
【解析】
(1)把圆化成标准方程形式,根据题意列出等式,然后两边平方,结合绝对值的性质进行求解即可;
(2)①设直线的方程与抛物线方程联立,根据共线向量的坐标表示公式,结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可;
②把抛物线方程写成函数形式,利用导数求出切线方程,结合①结论进行求解即可.
(1):
,
设,则
:
或
.
(2)由已知得直线:
,把
代入
得,
,
①设,
,由
得
,
∴,又由
得
,
,∴
,
∴:
.
②由得
,∴
,
∴:
,
,
∴,
的交点恒在直线
上.
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