题目内容

【题目】下列四个命题中,真命题的个数是 (  )

①命题:“已知 ,“”是“”的充分不必要条件”;

②命题:“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件;

③命题:已知幂函数的图象经过点(2,),则f(4)的值等于

④命题:若,则

A. 1B. 2C. 3D. 4

【答案】C

【解析】

命题单位圆x2+y21上或圆外任取一点Pab),满足“a2+b21”,根据三角形两边之和大于第三边,一定有“|a|+|b|1”,在单位圆内任取一点Mab),满足“|a|+|b|1”,但不满足“a2+b21”,从而判断命题的真假性;

命题先由“pq为真”推出pq的真假,然后判断“pq”的真假,反之再加以判断;

命题直接把点的坐标代入幂函数求出α,然后把x4代入求值即可;

命题④构造函数fx)=x1+lnx,其中x0,利用导数判断函数的单调性,从而判断命题的真假性;

命题①如图在单位圆x2+y2=1上或圆外任取一点P(a,b),满足“a2+b2≥1”,根据三角形两边之和大于第三边,一定有“|a|+|b|≥1”,在单位圆内任取一点M(a,b),满足“|a|+|b|≥1”,但不满足,“a2+b2≥1”,故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件,故命题①正确;

命题②“p且q为真”,则命题p、q均为真,所以“p或q为真”.反之“p或q为真”,则p、q都为真或p、q一真一假,所以不一定有“p且q为真”.所以命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件,故命题②不正确;

命题③由幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,),所以2α,所以α=﹣,所以幂函数为f(x)= ,所以f(4)=,所以命题③正确;

命题④若x+lnx>1,则x﹣1+lnx>0,设f(x)=x﹣1+lnx,其中x>0,

>0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,

∴f(x)>0时x>1,即x+lnx>1时x>1,所以命题④正确.

故选:C

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