Question

【题目】已知椭圆的离心率为，过点的直线与有两个不同的交点，线段的中点为，为坐标原点，直线与直线分别交直线于点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）求线段的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据题意列出关于的等式再求解即可.

（Ⅱ）设直线方程为,再联立直线与椭圆的方程,求得中点的坐标,利用韦达定理可得,再分析与两种情况分别利用基本不等式求解最值即可.

解：（Ⅰ） 解得.

所以椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）显然直线斜率存在.

设过点点的直线方程为.（,否则直线与直线无交点.）

直线与椭圆的交点为.

由得.恒成立.

则,

.

所以.

令,.

直线方程为,令,.

所以.

① 当时,.

当且仅当时,即时取“” .

② 当时,.

当且仅当时取“”.

此时.

综上,线段的最小值为.