题目内容
某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．（Ⅰ）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；
（Ⅱ）根据样本频率分布直方图估计样本的众数，中位数和平均数；
（Ⅲ）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？
考点：频率分布直方图,众数、中位数、平均数
专题：计算题,概率与统计
分析：（I）根据数据的概率之和为1，求出第四组数据的频率，再根据小矩形的高=
求小矩形的高，补全直方图；
（II）众数为第二组的中间值；从左数前两组数据的频率和为0.4，设中位数为85+x，则x×0.06=0.1，求出x，可得中位数；利用平均数为各个小矩形的中间值乘以对应小矩形的面积和，求平均数；
（III）分别求出成绩良好与优秀的学生数，根据抽取比例计算得抽取的5人中有3人成绩优秀，2人成绩良好，
利用组合求出从5人中选2人的基本事件个数和至少有一人是“优秀”的基本事件个数，根据古典概型概率公式计算．
| 频率 |
| 组距 |
（II）众数为第二组的中间值；从左数前两组数据的频率和为0.4，设中位数为85+x，则x×0.06=0.1，求出x，可得中位数；利用平均数为各个小矩形的中间值乘以对应小矩形的面积和，求平均数；
（III）分别求出成绩良好与优秀的学生数，根据抽取比例计算得抽取的5人中有3人成绩优秀，2人成绩良好，
利用组合求出从5人中选2人的基本事件个数和至少有一人是“优秀”的基本事件个数，根据古典概型概率公式计算．
解答：
解：（Ⅰ）第四组的频率为1-0.01×5-0.07×5-0.06×5-0.02×5=0.2，
∴第四组小矩形的高为
=0.04，
∴频率分布直方图如图：
（Ⅱ）众数为第二组的中间值，∴众数为82.5；
∵从左数前两组数据的频率和为0.4，设中位数为85+x，则x×0.06=0.1，
∴x=1
，∴中位数为86.7；
平均数为77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.3+92.5×0.2+97.5×0.1=87.25．
（III）成绩优秀的学生数为40×（0.3+0.2+0.1）=24，
∴成绩良好的学生数为16，
用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中抽取5人，抽取的比例为
=
，
∴这5人中有3人成绩优秀，2人成绩良好，
从5人中选2人的选法有
=10种方法，
其中至少有一人是“优秀”的选法有
+
=9种，
∴至少有一人是“优秀”的概率是
．
∴第四组小矩形的高为
| 0.2 |
| 5 |
∴频率分布直方图如图：
（Ⅱ）众数为第二组的中间值，∴众数为82.5；
∵从左数前两组数据的频率和为0.4，设中位数为85+x，则x×0.06=0.1，
∴x=1
| 2 |
| 3 |
平均数为77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.3+92.5×0.2+97.5×0.1=87.25．
（III）成绩优秀的学生数为40×（0.3+0.2+0.1）=24，
∴成绩良好的学生数为16，
用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中抽取5人，抽取的比例为
| 5 |
| 40 |
| 1 |
| 8 |
∴这5人中有3人成绩优秀，2人成绩良好，
从5人中选2人的选法有
| C | 2 5 |
其中至少有一人是“优秀”的选法有
| C | 2 3 |
| C | 1 3 |
| ×C | 1 2 |
∴至少有一人是“优秀”的概率是
| 9 |
| 10 |
点评：本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，考查了众数、中位数、平均数的求法，综合性强．
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