题目内容
设
=(2cosωx，
)，
=(sinωx，cos2ωx-sin2ωx)（ω＞0），函数f(x)=
•
，且函数f（x）图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为
．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足f（A）=0，B=
，a=2，求c边的长．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| π |
| 4 |
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足f（A）=0，B=
| π |
| 4 |
考点：正弦定理的应用,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用
专题：综合题,三角函数的求值
分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合二倍角、辅助角公式，根据函数f（x）图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为
，即可求函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）先求出A，再求出sinC，进而利用正弦定理，即可得出结论．
| π |
| 4 |
（Ⅱ）先求出A，再求出sinC，进而利用正弦定理，即可得出结论．
解答：
解：（Ⅰ）∵
=(2cosωx，
)，
=(sinωx，cos2ωx-sin2ωx)（ω＞0）
∴f(x)=
•
=2sinωxcosωx+
（cos2ωx-sin2ωx）=sin2ωx+
cosωx=2sin（2ωx+
）
∵函数f（x）图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为
，
∴T=
=4×
，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+
）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（A）=2sin（2A+
）=0，
∴sin（2A+
）=0，
∵0＜A＜
，
∴
＜2A+
＜
，
∴2A+
=π，
∴A=
，
∴sinC=sin（A+B）=
，
由正弦定理可得c=
=
=
．
| a |
| 3 |
| b |
∴f(x)=
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵函数f（x）图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为
| π |
| 4 |
∴T=
| 2π |
| 2ω |
| π |
| 4 |
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（A）=2sin（2A+
| π |
| 3 |
∴sin（2A+
| π |
| 3 |
∵0＜A＜
| π |
| 2 |
∴
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
∴2A+
| π |
| 3 |
∴A=
| π |
| 3 |
∴sinC=sin（A+B）=
| ||||
| 4 |
由正弦定理可得c=
| asinC |
| sinA |
2×
| ||||||
|
| ||||
| 3 |
点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数解析式的确定，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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