Question

6．（1）已知f（x）是一次函数，且满足f[f（x）]=4x+3，求函数f（x）的解析式；
（2）已知二次函数f（x）满足f（0）=2，f（x+1）-f（x）=2x-1对任意实数x都成立，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）（2）根据题意设出相应函数f（x）的解析式，利用待定系数法求解．

解答 解：（1）f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，（k≠0）
则f[f（x）]=k（kx+b）+b=k²x+kb+b=4x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}=4}\\{kb+b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
故得函数f（x）的解析式为：f（x）=2x+1或f（x）=-2x-3．
（2）f（x）是二次函数，f（x）=ax²+bx+c，（a≠0）
∵f（0）=2，
∴c=2，
则f（x）=ax²+bx+2，
∵f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+2-ax²-bx-2=2ax+a+b=2x-1
由$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=-1}\end{array}\right.$，解得：a=1．b=-2
故得函数f（x）的解析式为f（x）=x²-2x+2．

点评 本题考查了函数解析式的求法，利用了待定系数法，属于基础题．