Question

4．（1）求中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P$（3，-2\sqrt{6}）$的椭圆方程；
（2）过椭圆x²+2y²=2的左焦点引一条倾斜角为45°的直线与椭圆交A、B两点，椭圆的中心为O，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）设出椭圆的方程，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）由题设条件求出椭圆的焦点坐标，进而求出直线AB的方程，把直线AB代入椭圆方程，求出线段AB的长，再由点到直线距离公式求出原点到直线AB的距离，由此能求出△AOB的面积．

解答 解：（1）∵焦点在x轴上，焦距等于4，
∴2c=4，c=2，c²=4，
设椭圆的方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{24}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}{=b}^{2}+4}\end{array}\right.$，
解得：a²=36，b²=32，
故椭圆的方程是：$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1$；
 （2）把椭圆x²+2y²=2转化为标准方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
∵a²=2，b²=1，
∴椭圆x²+2y²=2的焦点F₁（1，0），F₂（-1，0），
∵过椭圆x²+2y²=2的焦点引一条倾斜角为45°的直线与椭圆交于A、B两点，
设直线AB过焦点F₁（1，0），
∴直线AB的方程为y=x-1，
联立方程组 $\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{2y}^{2}=2}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，
整理，得4x²-4x=0，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{4}{3}}\\{{y}_{2}=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴|AB|=$\sqrt{{（1-0）}^{2}{+（0+1）}^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，
∵原点O到直线AB：y=x-1的距离d=$\frac{|0-0-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查三角形面积的求法，涉及到椭圆性质、直线方程、点到直线距离公式等知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．