Question

已知点F（1，0），直线l：x=-1，动点P到点F的距离等于点P到直线l的距离，动直线PO与直线l交于动点N，过N且平行于x轴的直线与动直线PF交于动点Q．
（Ⅰ）求证：动点P、Q在同一条曲线C上运动；
（Ⅱ）曲线C在点P处的切线与直线l交于点R，M为线段PQ的中点．
（1）求证：直线RM∥x轴；
（2）若直线RM平分∠PRF，求直线PQ的方程．

Answer 1

（I）点P在曲线C：y²=4x上
令P(

y 21

4

，y1)，OP：y=

4

y1

x，N(-1，-

4

y1

)
Q(

4

y12

，-

4

y1

)
NQ：y=-

4

y1

，PF：y=

4y1

y12-4

(x-1)
将直线NQ的方程代入直线PF的方程消去y₁，得y²=4x
∴点Q在曲线C上．
（II）
（1）∵y=2

x

，y′=

1

x

，kPR=

2

y1

∴PR：y-y1=

2

y1

(x-

y 21

4

)
∴R：(-1，

y1

2

-

2

y1

)，M(

y12

8

+

2

y12

，

y1

2

-

2

y1

)
显然RM∥x轴
(2)PR与x轴交于A(-

y 21

4

，0)
若RM平分∠PRF，且RM∥x轴
∴|AR|=|RF|
即

y 21

4

-1=2，

y

21

=12
∵y1＞0∴y1=2

3

∴P（3，2

3

），又F（1，0）
∴PF：y=

3

(x-1)
即直线PQ的方程为y=

3

(x-1)