题目内容
已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且QP |
QF |
FP |
FQ |
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD,AE,且AD,AE的斜率k1、k2满足k1•k2=2,试推断:动直线DE是否过定点?证明你的结论.
分析:(1)先求得Q的坐标,再直接设出P的坐标,代入已知的式子化简整理即可.
(2)直接设DE的直线方程y=kx+b,D(x1,y1),E(x2,y2),与曲线C的方程联立、消元,由维达定理和AD、AE的斜率之积等于2得到k和b的关系,代入DE的直线方程,问题即可求解.
(2)直接设DE的直线方程y=kx+b,D(x1,y1),E(x2,y2),与曲线C的方程联立、消元,由维达定理和AD、AE的斜率之积等于2得到k和b的关系,代入DE的直线方程,问题即可求解.
解答:解:(1)设P(x,y),则Q(-1,y)
代入
•
=
•
,
得2(x+1)=-2(x-1)+y2.
化简得y2=4x
(2)将A(m,2)代入y2=4x,得m=1,∴A(1,2).
设直线AD斜率为k1,直线AE斜率为k2,
∵k1•k2=2,∴DE两点不可能关于x轴对称.∴DE的斜率必存在,设为k.
设直线DE的方程y=kx+b,D(x1,y1),E(x2,y2).
由
,得k2x2+2(kb-2)x+b2=0
∴x1+x2=
,x1x2=
∵k1•k2=2,∴
•
=2(x1,x2≠1)
且y1=kx1+b,y2=kx2+b∴(k2-2)x1x2+(kb-2k+2)(x1+x2)+(b-2)2-2=0.
将 x1+x2=
,x1x2=
代入化简,得b2=(k-2)2,∴b=±(k-2).
将b=k-2代入y=kx+b得y=kx+k-2=k(x+1)-2,直线过定点(-1,-2);
将b=2-k代入y=kx+b得y=kx+2-k=k(x-1)+2.直线过定点(1,2)即为A点,舍去.
∴直线DE过定点为(-1,-2)
代入
QP |
QF |
FP |
FQ |
得2(x+1)=-2(x-1)+y2.
化简得y2=4x
(2)将A(m,2)代入y2=4x,得m=1,∴A(1,2).
设直线AD斜率为k1,直线AE斜率为k2,
∵k1•k2=2,∴DE两点不可能关于x轴对称.∴DE的斜率必存在,设为k.
设直线DE的方程y=kx+b,D(x1,y1),E(x2,y2).
由
|
∴x1+x2=
-2(kb-2) |
k2 |
b2 |
k2 |
∵k1•k2=2,∴
y1-2 |
x1-1 |
y2-2 |
x2-1 |
且y1=kx1+b,y2=kx2+b∴(k2-2)x1x2+(kb-2k+2)(x1+x2)+(b-2)2-2=0.
将 x1+x2=
-2(kb-2) |
k2 |
b2 |
k2 |
代入化简,得b2=(k-2)2,∴b=±(k-2).
将b=k-2代入y=kx+b得y=kx+k-2=k(x+1)-2,直线过定点(-1,-2);
将b=2-k代入y=kx+b得y=kx+2-k=k(x-1)+2.直线过定点(1,2)即为A点,舍去.
∴直线DE过定点为(-1,-2)
点评:本题考查直接法求轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、直线过定点问题.考查推理能力和运算能力.
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