Question

已知点F（1，0），动点P到直线x=-2的距离比到F的距离大1．
（1）求动点P所在的曲线C的方程；
（2）A，B为曲线C上两动点，若|AF|+|BF|=4，求证：AB垂直平分线过定点，并求出该定点．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线定义可知曲线C是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线，进而可得抛物线的方程．
（2）设AB中点M（1，y₀），先得出直线AB的斜率与其中点坐标的关系，再由垂直得出其垂线的斜率，由点斜式得出中垂线方程，发现其为一过定点的直线，得出此坐标即可．

解答：解：（1）由条件，P到F（1，0）的距离等于到直线x=-1的距离，
所以，曲线C是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线，其方程为y²=4x
（2）∵|AF|+|BF|=4，
∴x₁+x₂=2，
设AB中点M（1，y₀），
则kAB=

2

y0

所以中垂线方程为：y-y0=-

y0

2

(x-1)，
它恒过点（3，0）．
故AB垂直平分线过定点（3，0）．

点评：本题主要考查抛物线的应用及过定点的直线方程定点的求法，考查了综合运用所学知识和运算的能力．