Question

10．如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E，AC=AP．
（1）证明：∠ADE=∠AED；
（2）证明PC=$\sqrt{3}$PA．

Answer 1

分析 （1）根据弦切角定理，得到∠BAP=∠C，结合PE平分∠APC，可得∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED；
（2）通过内角相等证明出△APC∽△BPA，根据AC=AP得到∠APC=∠C，结合（I）中的结论可得∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC中根据直径BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形内角和定理可得∠C=∠APC=∠BAP=30°．利用直角三角形中正切的定义，得到$\frac{AC}{AB}$=$\sqrt{3}$，即可证明结论．

解答 证明：（1）∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C
又∵∠APD=∠CPE，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE
∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE
∴∠ADE=∠AED； …（5分）
（2）由（1）知∠BAP=∠C，又∠APC=∠BPA，∴△APC∽△BPA，
∴$\frac{PC}{PA}=\frac{AC}{AB}$，
∵AC=AP，∠BAP=∠C=∠APC，
由三角形的内角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180°，
∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°
∴∠C+∠APC+∠BAP=90°，∴∠C=∠APC=∠BAP=30°，
在Rt△ABC中，$\frac{AC}{AB}$=$\sqrt{3}$，∴$\frac{PC}{PA}$=$\sqrt{3}$，∴PC=$\sqrt{3}$PA     …（10分）

点评 本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函数的定义和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．找到题中角的等量关系，计算出Rt△ABC是含有30度的直角三角形，是解决本题的关键所在．