Question

2．如图，弦CD平分∠ACB，BC切⊙O于点C，延长弦AD交BC于点B，若⊙O的半径长为$\frac{5}{2}$，CD=3，则AC=$\frac{24}{5}$，BD=$\frac{25}{13}$．

Answer 1

分析 连接OC，OD，在等腰三角形COD中，运用余弦定理可得cos∠COD，由∠COD=2∠A，可得cosA，由等腰三角形可得AC=6cosA；在三角形BCD中，运用两角和的正弦公式，求得sinB，运用正弦定理可得BD．

解答 解：由弦CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD，
由弦切角定理，可得∠BCD=∠A，
即∠A=∠ACD，则AD=CD=3，
则AC=2ADcosA=6cosA，
连接OC，OD，即有∠COD=2∠A，
由⊙O的半径长为$\frac{5}{2}$，CD=3，
在等腰三角形COD中，cos∠COD=$\frac{\frac{25}{4}+\frac{25}{4}-9}{2×\frac{25}{4}×\frac{25}{4}}$=$\frac{7}{25}$，
可得2cos²A-1=$\frac{7}{25}$，解得cosA=$\frac{4}{5}$，
AC=6×$\frac{4}{5}$=$\frac{24}{5}$；
在△BCD中，CD=3，∠CDB=2∠A，∠BCD=∠A，
则cos∠CDB=cos∠COD=$\frac{7}{25}$，sin∠CDB=$\sqrt{1-（\frac{7}{25}）^{2}}$=$\frac{24}{25}$，
sinB=sin（∠CDB+∠BCD）=sin∠CDBcos∠BCD+cos∠CDBsin∠BCD
=$\frac{24}{25}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{7}{25}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{117}{125}$，
由正弦定理可得$\frac{BD}{sin∠DCB}$=$\frac{DC}{sinB}$，
BD=$\frac{CDsin∠DCB}{sinB}$=$\frac{3×\frac{3}{5}}{\frac{117}{125}}$=$\frac{25}{13}$．
故答案为：$\frac{24}{5}$，$\frac{25}{13}$．

点评 本题考查圆的弦切角定理、三角形的内角和外角的关系、正弦定理和余弦定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．