Question

18．已知f（x）=x⁴-lnx+ax³在[3，5]上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，问题转化为a≥$\frac{1-{4x}^{4}}{{3x}^{3}}$在[3，5]上恒成立，令g（x）=$\frac{1-{4x}^{4}}{{3x}^{3}}$，x∈[3，5]，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：f（x）=x⁴-lnx+ax³在的定义域是（0，+∞），
f′（x）=4x³-$\frac{1}{x}$+3ax²=$\frac{{4x}^{4}+3{ax}^{3}-1}{x}$，
若f（x）在[3，5]上是增函数，
则a≥$\frac{1-{4x}^{4}}{{3x}^{3}}$在[3，5]上恒成立，
令g（x）=$\frac{1-{4x}^{4}}{{3x}^{3}}$，x∈[3，5]，
g′（x）=-$\frac{{4x}^{4}+3}{{3x}^{4}}$＜0，
g（x）在[3，5]递减，
g（x）_max=g（3）=-$\frac{323}{81}$，
故a≥-$\frac{323}{81}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．