Question

5．如图所示，⊙O和⊙P相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．
（Ⅰ） 若BC=2，BD=4，求AB的长；
（Ⅱ） 若AC=3，求AE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先由AC与⊙O′相切于A，得∠BAC=∠BDA，同理得到∠BAD=∠BCA，△BAC∽△BDA，即可得出结论；
（Ⅱ）连接EC，证明∠AEC=∠ACE，可得AE=AC．

解答 解：（Ⅰ）由弦切角定理得∠BAC=∠BDA，---------（1分）
∠BAD=∠BCA，----------------------------------------------------（2分）
所以△BAC∽△BDA，----------------------------------------------（3分）
得$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$，------------------------------------（4分）
所以AB²=BC•BD=8，
所以$AB=2\sqrt{2}$；---------------------------------（5分）
（Ⅱ）连接EC，∵∠AEC=∠AEB+∠BEC，∠ACE=∠ABE=∠BAD+∠ADB，
∵∠AEB=∠BAD，∠BAC=∠BDA=∠BEC，
∴∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC=3（10分）

点评 本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．属于中档题．