题目内容

2．定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足$\sqrt{x}{f^'}（x）＜\frac{1}{2}$，则下列不等式中，一定成立的是（　　）
A．f（9）-1＜f（4）＜f（1）+1B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）-1C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）-1D．f（1）-1＜f（4）＜f（5）+2

分析 构造函数g（x）=f（x）-$\sqrt{x}$，则根据导数可判断g（x）单调递减，于是g（9）＜g（4）＜g（1），化简即可得出结论．

解答 解：∵$\sqrt{x}f′（x）$$＜\frac{1}{2}$，∴f′（x）＜$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
令g（x）=f（x）-$\sqrt{x}$，则g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2\sqrt{x}}$＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴g（9）＜g（4）＜g（1），即f（9）-3＜f（4）-2＜f（1）-1，
∴f（9）-1＜f（4）＜f（1）+1．
故选：A．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，构造g（x）是解题关键，属于中档题．

练习册系列答案
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13．设D为△ABC的所在平面内一点，$\overrightarrow{BC}=-4\overrightarrow{CD}$，则$\overrightarrow{AD}$=（　　）
A．$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$B．$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$C．$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$D．$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$
13．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2，在以极点为直角坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=3\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）在平面直角坐标系中，设曲线C经过伸缩变换φ：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=\frac{1}{2}x}\\{{y}^{′}=y}\end{array}\right.$得到曲线C′，若M（x，y）为曲线C′上任意一点，求点M到直线l的最小距离．
10．设复数z=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），若z=（4+3i）i，则ab的值是-12．
17．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），其中0≤α＜π．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ=4cosθ．直线l与曲线C1相切．
（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，并求α的值．
（2）已知点Q（2，0），直线l与曲线C2：x2+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1交于A，B两点，求△ABQ的面积．
7．三棱锥A-BCD中，DA⊥AC，DB⊥BC，DA=AC，DB=BC，AB=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$CD，若三棱锥A-BCD的体积为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，则CD的长为（　　）
A．$\sqrt{2}$B．$2\sqrt{2}$C．$\sqrt{3}$D．$2\sqrt{3}$
14．（x2-x-2）3展开式中x项的系数为（　　）
A．-12B．12C．4D．-4
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC=b-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$c．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若B=$\frac{π}{6}$，AC=4，求BC边上的中线AM的长．
12．已知函数f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+3}$，若f′（1）=$\frac{1}{2}$，则实数a的值为（　　）
A．2B．4C．6D．8

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