Question

7．三棱锥A-BCD中，DA⊥AC，DB⊥BC，DA=AC，DB=BC，AB=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$CD，若三棱锥A-BCD的体积为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，则CD的长为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 取CD的中点M，连接AM，BM，用CD表示出AM，BM，AB，证明CD⊥平面ABM，于是V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABM}•CD$，列方程解出CD．

解答 解：取CD的中点M，连接AM，BM，
∵DA⊥AC，DB⊥BC，DA=AC，DB=BC，
∴AM⊥CD，BM⊥CD，CM=DM，
∴CD⊥平面ABM，
∴V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABM}•CD$．
设CD=x，则AM=BM=$\frac{x}{2}$，AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}x$，
∴AM²+BM²=AB²，∴AM⊥BM，
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}×\frac{x}{2}×\frac{x}{2}$=$\frac{{x}^{2}}{8}$，
∴V=$\frac{1}{3}×\frac{{x}^{2}}{8}×x$=$\frac{{x}^{3}}{24}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴x=2$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．