Question

已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，3bcosA=ccosA+acosC．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积为2

2

，a=3，求b，c的长．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，由sinB不为0求出cosA的值即可；
（Ⅱ）由cosA的值求出sinA的值，利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积与sinA的值代入求出bc=6，再利用余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入，利用完全平方公式变形，把bc的值代入求出b+c=5，联立求出b与c的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理化简3bcosA=ccosA+acosC化简得：3sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC，
整理得：3sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=

1

3

；
（Ⅱ）∵cosA=

1

3

，A为三角形内角，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

2

3

bc=2

2

，即bc=6①，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-

2

3

bc，即9=（b+c）²-2bc-

2

3

bc，
把bc=6代入得：b+c=5②，
联立①②，解得：b=2，c=3或b=3，c=2．

点评：此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．