Question

16．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足xf′（x）＞f（x），则不等式（x-1）f（x+1）＞f（x²-1）的解集是（1，2）．

Answer 1

分析 由题意可知：F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，（x＞0），求导，F′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，由xf′（x）-f（x）＞0，F（x）为定义域上的增函数，则（x-1）f（x+1）＞f（x²-1），定义域（1，+∞），则$\frac{f（x+1）}{x+1}$＞$\frac{f（{x}^{2}-1）}{（x+1）（x-1）}$，因此F（x+1）＞F（x²-1），则x+1＞x²-1，即可求得不等式的解集．

解答 解：∵由xf′（x）＞f（x），即xf′（x）-f（x）＞0，
令F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，（x＞0），
则F′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∴F′（x）＞0，
∴F（x）为定义域上的增函数，
（x-1）f（x+1）＞f（x²-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{{x}^{2}-1＞0}\end{array}\right.$，解得：x＞1，
∴$\frac{（x-1）f（x+1）}{x+1}$=$\frac{f（{x}^{2}-1）}{x+1}$，即$\frac{f（x+1）}{x+1}$＞$\frac{f（{x}^{2}-1）}{（x+1）（x-1）}$，
∴F（x+1）＞F（x²-1），
∴x+1＞x²-1，整理得：x²-x-2＜0，
解得：-1＜x＜2，
综上可知：1＜x＜2，
故答案为：（1，2）．

点评 本题考查函数的单调性和导数的关系，考查函数定义域的求法，考查构造法，属于中档题．