Question

5．已知定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²+2x-1
（1）求f（-3）的值；
（2）求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据题意和奇函数的性质求出f（-3）的值；
（2）根据奇函数的性质可得f（0）=0，设x＜0则-x＞0，由条件和奇函数的性质求出x＜0的表达式，再用分段函数表示出来即可．

解答 解：（1）因为定义在R上的奇函数f（x），满足当x＞0时，f（x）=x²+2x-1，
所以f（-3）=-f（3）=-（9+6-1）=-14；
（2）因为定义在R上的奇函数f（x），
所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0，
设x＜0，则-x＞0，
因为当x＞0时，f（x）=x²+2x-1，
所以f（-x）=x²-2x-1=-f（x），
即当x＜0时，f（x）=-x²+2x+1，
综上得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x-1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}+2x+1，x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质的应用，利用函数奇偶性的定义将变量进行转化是解决本题的关键，考查转化思想，属于中档题．