Question

11．等差数列{a_n}的公差为d，关于x的不等式$\frac{d}{2}$x²+（a₁-$\frac{d}{2}$）x+c≥0的解集是[0，12]，则使得数列{a_n}的前n项和大于零的最大的正整数n的值是（　　）

• A． 6
• B． 11或12
• C． 12
• D． 12或13

Answer 1

分析 根据已知等差数列{a_n}的公差为d，关于x的不等式$\frac{d}{2}$x²+（a₁-$\frac{d}{2}$）x+c≥0的解集为[0，12]，根据不等式解析的形式及韦达定理，判断出数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，进而判断出数列项的符号变化分界点，即可得到答案．

解答 解：∵关于x的不等式$\frac{d}{2}$x²+（a₁-$\frac{d}{2}$）x+c≥0的解集为[0，12]，
∴12=$-\frac{{a}_{1}-\frac{d}{2}}{\frac{d}{2}}$，且$\frac{d}{2}$＜0，
即a₁=-$\frac{11}{2}$d＞0，
则a₆=a₁+5d=$-\frac{11d}{2}+\frac{10d}{2}=-\frac{d}{2}$＞0，a₇=a₁+6d=$-\frac{11d}{2}+\frac{12d}{2}=\frac{d}{2}$＜0，
故使数列{a_n}的前n项和S_n最大的正整数n的值是6．
故选：A．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，其中根据不等式解析的形式及韦达定理，易判断出数列的首项为正，公差为负，及首项与公差之间的比例关系，是解答本题的关键，是中档题．