Question

15．已知圆O：x²+y²=1和定点P（4，3），圆外一点M作圆的切线MN，N为切点，且|MN|=|MP|
（1）求|MN|的最小值；
（2）以M为圆心，r为半径的圆与圆O：x²+y²=1有公共点，求r最小时圆M的方程．

Answer 1

分析 （1）连接ON、OM，则△ONM为直角三角形，利用||MN|=|MP|，求M点的轨迹方程；表示出|MN|，利用配方法求|MN|的最小值；
（2）以M为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，即可求出半径最小的圆的方程．

解答 解　（1）连接ON、OM，则△ONM为直角三角形，
又||MN|=|MP|
所以|OM|²=|ON|²+|MN|²=1+|MP|²，
所以a²+b²=1+（a-4）²+（b-3）²，故M的轨迹方程是4x+3y-13=0．
由|MN|²=|OM|²-1=a²+b²-1=a²+（-$\frac{4}{3}$a+$\frac{13}{3}$）²-1=5a²-12a+8=$\frac{25}{9}$（a-$\frac{52}{25}$）²+$\frac{169}{25}$，
得|MN|_min=$\frac{13}{5}$．
（3）以M为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心M为过原点且与l垂直的直线l′与l的交点P₀，所以r=$\frac{13}{5}$-1=$\frac{8}{5}$，
又l′：3x-4y=0，联立l：4x+3y-13=0得P₀（$\frac{52}{25}$，$\frac{39}{25}$）．
所以所求圆的方程为（x-$\frac{52}{25}$）²+（y-$\frac{39}{25}$）²=（$\frac{8}{5}$）²．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．