Question

【题目】已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）曲线与曲线有两个公共点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）的普通方程为，；曲线的直角坐标方程为；（2）.

【解析】

（1）根据参数方程与普通方程的转化，可消去得的普通方程；根据正弦差角公式展开，结合极坐标与直角坐标的转化公式，代入化简即可.

（2）根据两个函数的方程，联立后画出函数图像，结合图像即可求得的取值范围.

（1），，

化简可得的普通方程为，；

.

曲线的直角坐标方程为

（2）由（1）知，曲线与曲线有两个公共点，

即方程在上有两个不同实根，

即与在上有两个不同交点，

的函数图像如下图所示：

结合图形知.

所以的取值范围为.