题目内容
【题目】已知函数.
(1)试讨论的单调性;
(2)当函数有三个不同的零点时,
的取值范围恰好是
,求
的值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)求得,然后对
与
的大小关系进行分类讨论,分析导数的符号变化,可得出函数
的单调递增区间和递减区间;
(2)由题意可知,可得出函数
的两个极值分别为
、
,由题意得出
,由此得出
,令
,由题意得
,进而可得出实数
的值.
(1),
.
当时,
,此时,函数
在
上单调递增;
当时,令
,得
,令
,得
或
.
此时,函数的单调递减区间为
,单调递增区间为
和
;
当时,令
,得
,令
,得
或
.
此时,函数的单调递减区间为
,单调递增区间为
和
.
综上所述,当时,函数
的单调递增区间为
;
当时,函数
的单调递减区间为
,单调递增区间为
和
;
当时,函数
的单调递减区间为
,单调递增区间为
和
;
(2)当时,函数
在
上单调递增,至多一个零点,不合乎题意,
所以,,则函数
有两个极值
,
.
若函数有三个不同的零点,则
,即
,
由于的取值范围恰好是
,
令,则该函数的三个零点分别为
、
、
.
由,得
或
;
由,得
或
;
由,得
或
.
因此,.

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