Question

半径为1的半圆中，作如图所示的等腰梯形ABCD，设梯形的上底BC=2x，梯形ABCD的周长为y．
（1）求y关于x的函数解析式，并注明定义域；
（2）上底BC与腰CD的长度为何值时，周长y取到最大值，并求此最大值．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，梯形的高h=

1-x2

，CD=

h2+(1-x)2

=

2-2x

，从而求周长，写出定义域；
（2）由题意，令

1-x

=t，利用换元法及配方法求函数的最大值．

解答： 解：（1）梯形的高h=

1-x2

，
则CD=

h2+(1-x)2

=

2-2x

，
则梯形ABCD的周长为y=2+2x+2

2-2x

，（0＜x＜1）；
（2）令

1-x

=t，则x=1-t²（0＜t＜1），
y=2+2（1-t²）+2

2

t
=-2t²+2

2

t+4，
则当t=

2 2

4

=

2

2

，即x=

1

2

时，
y_max=-2×

1

2

+2

2

2

2

+4=5，
此时，BC=1，CD=1；
即BC=1，CD=1时，y_max=5．

点评：本题考查了梯形的相关知识及函数的最值的求法，属于中档题．