Question

已知函数f（x）=sin（x-

π

6

）+

1

2

．
（1）若x∈[0，

π

2

]，f（x）=

11

10

，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足2bcosA≤2c-

3

a，求f（B）的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）运用角的变换：x=x-

π

6

+

π

6

，由条件求出cos（x-

π

6

），再由两角和的余弦公式，即可得到cosx；
（2）运用正弦定理和两角和的正弦公式化简，即可得到2cosB≥

3

，再由余弦函数的单调性，得到B的范围，再由正弦函数的性质，即可得到f（B）的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=sin（x-

π

6

）+

1

2

，
由f（x）=

11

10

，即sin（x-

π

6

）=

3

5

，
由于x∈[0，

π

2

]，则x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，
即有cos（x-

π

6

）=

4

5

，
则cosx=cos（x-

π

6

+

π

6

）=cos（x-

π

6

）cos

π

6

-sin（x-

π

6

）sin

π

6

=

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=

4 3 -3

10

；
（2）由于2bcosA≤2c-

3

a，
则由正弦定理得，2sinBcosA≤2sinC-

3

sinA
=2sin（A+B）-

3

sinA=2sinAcosB+2cosAsinB-

3

sinA，
则有2cosB≥

3

，B为三角形的内角，则0＜B≤

π

3

，
由于f（B）=sin（B-

π

6

）+

1

2

，而-

π

6

＜B-

π

6

≤

π

6

，
sin（B-

π

6

）∈（-

1

2

，

1

2

]，
则有f（B）的取值范围是（0，1]．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查角的变换，考查正弦定理以及正弦、余弦函数的性质，主要是单调性，属于中档题和易错题．